Chi formulò i teoremi di incompletezza mostrando i limiti dei sistemi formali sufficientemente potenti?

Risposta corretta: Kurt Gödel

La risposta corretta è Kurt Gödel. Nel 1931 pubblicò il celebre lavoro in cui dimostrò due risultati epocali: 1) in ogni sistema formale coerente, effettivo e abbastanza potente da esprimere l’aritmetica, esistono proposizioni vere ma indimostrabili al suo interno; 2) la coerenza del sistema non è dimostrabile dal sistema stesso. Perché non gli altri? Alan Turing (1936) dimostrò l’indecidibilità del problema dell’arresto e fondò l’informatica teorica; Gottlob Frege gettò le basi della logica moderna, ma il suo sistema fu messo in crisi dal paradosso di Russell; Bertrand Russell, con Whitehead, scrisse i Principia Mathematica e individuò il paradosso omonimo, ma non formulò i teoremi di incompletezza.

La prova di Gödel usa la numerazione di Gödel per trasformare formule in numeri e costruire un enunciato autoreferenziale del tipo “questa frase non è dimostrabile”. Più tardi si trasferì a Princeton, dove frequentò l’Institute for Advanced Study e discusse spesso di logica con Einstein.

Errore comune: attribuire l’incompletezza a Turing o credere che significhi “niente è dimostrabile”. I teoremi di Gödel valgono per sistemi coerenti e sufficientemente espressivi (come quelli che includono l’aritmetica). Non demoliscono la matematica: ne chiariscono i confini. Inoltre, esistono teorie complete e decidibili, come l’aritmetica di Presburger.